3 次スプライン
3 次スプライン面は、頂点の接平面と面の間の距離であるサグ値で記述します。スプライン面は、異常な補正板、ヘッドランプ、および非標準的な光学面の説明に使用されますが、スプラインの基本特性から結像用途にはほとんど使用されません。詳細な説明については、後述する「スプライン面に関するコメント」を参照してください。
3 次スプライン面は、その面のクリア半径または半径を 8 等分した各位置 (1/8 ～ 8/8) でのサグを示す 8 個の値を使用します。3 次スプライン面は、回転対称です。8 個すべての点を定義する必要があります。8 個の一部のみを使用することはできませんが、クリア半径または半径に面の有効アパチャーを超えた値を定義することはできます。これは、スプライン フィッティングにより急な曲率が導入されることがあるため、必要になることが多いです。点が 8 個ではサンプリングが過度に粗くなる場合は、「拡張 3 次スプライン」を参照してください。より一般的な非回転対称面については、「グリッド サグ」を参照してください。
スプライン面に関するコメント
3 次スプラインは、曲線的なセグメントの区分連結により形成されます。各セグメントの範囲内で、曲線は 3 次多項式で定義されます。各セグメントを説明する多項式の係数は、定義済みのセグメント境界のサグ値から求められます。係数は、曲線が定義済みの点を通り、一次導関数と二次導関数の両方がセグメント境界をまたがり連続的であるという境界条件によって決まります。3 次スプラインでは、三次導関数などのさらに高次の導関数をセグメント境界をまたがり連続的とすることを要することができません。そのため、スプラインの精度は制限され、高精度光学設計における有用性も制限を受けます。
スプライン面を通る光線を追跡するうえで共通する特徴は、一部の結果に不連続性を含む、粗く、またはノイズが多くみられる光線データです。このような光線追跡の不連続性は、スプラインの本質的な限界であり、これは OpticStudio の不具合や数値精度の欠如によるものではありません。
高次スプラインは当然のことながら存在し、不連続性を取り除く 1 つの方法は、高次スプラインとより少ないセグメントを使用することです。極限的に、面全体で単一の高次多項式を使用することと基本的には同じです。例として「[偶数次非球面] (Even Asphere)」を参照してください。高精度の光学設計で、スプラインや NURBS ではなく、高次多項式が大勢を占める理由はこの点にあります。高次多項式はあらゆる次数で連続的で滑らかであり、また微分可能です。
スプラインの理論、特性、およびアルゴリズムに関する優れた説明については、Press et al. 著、『Numerical Recipes in C』 (Cambridge University Press) を参照してください。
3 次スプライン面のパラメータ定義
| パラメータ番号 | 定義 |
| 1 | 1/8 におけるサグ |
| 2 | 2/8 におけるサグ |
| 3 | 3/8 におけるサグ |
| 4 | 4/8 におけるサグ |
| 5 | 5/8 におけるサグ |
| 6 | 6/8 におけるサグ |
| 7 | 7/8 におけるサグ |
| 8 | 8/8 におけるサグ |
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