チェビシェフ多項式

チェビシェフ多項式面は、基本の曲率半径と一連のチェビシェフ多項式で記述できるフリーフォーム面です。一次元の第一種チェビシェフ多項式は、以下の式で表されます。

参考として、チェビシェフ多項式の低次側 10 項の係数を以下に示します。

T₀ (x) = 1

T₁ (x) = x

T₂ (x) = 2x² – 1

T₃ (x) = 4x³ - 3x

T₄ (x) = 8x⁴ - 8x² + 1

T₅ (x) = 16x⁵- 20x³ + 5x

T₆ (x) = 32x⁶ - 48x⁴ + 18x² – 1

T₇ (x) = 64x⁷ - 112x⁵ + 56x³ - 7x

T₈ (x) = 128x⁸ - 256x⁶ + 160x⁴ - 32x² + 1

T₉ (x) = 256x⁹ - 576x⁷ + 432x⁵ - 120x³ + 9x

T₁₀ (x) = 512x¹⁰ - 1280x⁸ + 1120x⁶ - 400x⁴ + 50x² - 1

二次元チェビシェフ多項式にするには、積の基底 t_ij(x,y) を使用します。

OpticStudio では、x と y の最大次数は 14 に設定されます。どの関数もチェビシェフ多項式の項の有限和として補間できます。

2D チェビシェフ多項式の引数は、単位間隔で定義されます。任意の間隔の補間を有効にするには、多項式の引数として正規化したとを使用します。

チェビシェフ多項式面のサグ (z 座標) は、以下の式で求められます。

c は面の頂点における曲率、およびは正規化長さ、は正規化された多項式係数で、が成り立ちます。

正規化半径である X0 と Y0 の外側ではチェビシェフ面が定義されません。正規化半径の外側でチェビシェフ面に到達する光線は追跡できず、そのチェビシェフ面でビネッティングされます。

チェビシェフ多項式面のパラメータ定義

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